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CHAPITRE 08 : SYMETRIE AXIALE.
 Objectifs |
OBJECTIFS :
- Savoir construire le symétrique d’un point, d’une droite, d’un segment, d’un cercle (que l’axe de symétrie coupe ou non la figure).
- Savoir construire ou compléter la figure symétrique d’une figure donnée ou de figures possédant un axe de symétrie à l’aide d’une règle (graduée ou non), de l’équerre, du compas, du rapporteur.
Activités : voir activités du livre.
| Partie 1 |
I. SYMETRIE AXIALE.
Définition 1 :
Si deux figures se superposent par pliage suivant une droite (d), alors ces deux figures sont symétriques par rapport à la droite (d).
La droite (d) est appelée l’axe de la symétrie.
Exemple 1 :
Les figures $(cc(F))$ et $(cc(F'))$ sont symétriques par rapport à la droite (d).
La figure $(cc(F'))$ est le symétrique de $(cc(F))$ par rapport à la droite (d).
La figure $(cc(F))$ est le symétrique de $(cc(F'))$ par rapport à la droite (d).
Exercices proposés : Exercices N°.
| Partie 2 |
II. SYMETRIQUE D’UN POINT.
Définition 2 :
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à son segment et passant par son milieu.
Exemple 2 :
(d) est la médiatrice du segment $[AB]$.
Définition 3 :
Deux cas sont possibles pour le symétrique d’un point par rapport à une droite :
Le point A n’est pas sur la droite (d) : dans ce cas, le symétrique du point A par rapport à la droite (d) est le point A' tel que (d) soit la médiatrice de $[A A']$.
Le point A est sur la droite (d) : dans ce cas, le symétrique du point A par rapport à la droite (d) est lui-même.
Exemple 3 :
Cas où A n'est pas sur la droite (d).
Cas où A est sur la droite (d).
Exercices proposés : Exercices N°.
Proposition 1 :
Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est à égale distance des extrémités du segment.
Si un point est à égale distance des extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice du segment.
Exemple 4 :
La droite (d) est la médiatrice du segment $[AB]$.
- Si $M in (d)$, alors $MA = MB$.
- Si $MA = MB$, alors $M in(d)$.
Exercices proposés : Exercices N°.
| Partie 3 |
III. PROPRIETES DE LA SYMETRIE AXIALE.
Remarque 1 :
Une figure et son symétrique par rapport à une droite sont superposables. Ces deux figures ont donc la même forme et les mêmes dimensions.
Proposition 2 :
La symétrie d’une figure par rapport à une droite conserve :
- l'alignement des points ;
- les longueurs ;
- le parallélisme et la perpendicularité ;
- les angles ;
- les aires.
Exemple 5 :
Les points A, B et C sont alignés ; donc, leurs symétriques respectifs par rapport à (d) A’, B’ et C’ sont alignés.
Le segment $[AB]$ mesure 3 cm ; donc son symétrique par rapport à (d), $[A'B']$, mesure 3 cm.
Les segments $[DA]$ et $[AB]$ sont perpendiculaires ; donc leurs symétriques respectifs par rapport à (d), $[D'A']$ et $[A'B']$ sont perpendiculaires.
L’angle $hat(BAC)$ mesure 28° ; donc son symétrique par rapport à (d), l’angle $hat(B'A'C')$, mesure 28°.
Le quadrilatère ABCD a pour aire $cc(A)_(ABCD)$ ; donc son symétrique par rapport à (d), A'B'C'D' qui a pour aire $cc(A)_(A'B'C'D')$, a la même aire.
Id est : $cc(A)_(ABCD)=cc(A)_(A'B'C'D')$
Proposition 3 :
La symétrie par rapport à une droite transforme :
- une droite en une droite ;
- un segment en un segment de même longueur ;
- une demi-droite en demi-droite ;
- un polygone en polygone de même mesure ;
- un cercle en un cercle de même rayon.
Exemple 6 :
La droite (u) est transformée par la symétrie par rapport à (d) en (u).
Le segment $[AB]$ est transformé par la symétrie par rapport à (d) en le segment $[A'B']$ de même mesure.
La demi-droite $[Ax)$ est transformée par la symétrie par rapport à (d) en $[A'x')$.
Le cercle de centre A et de rayon 2 cm est transformé par la symétrie par rapport à (d) en le cercle de centre A' et de rayon 2 cm..
Exercices proposés : Exercices N°.
| Partie 4 |
IV. AXES DE SYMETRIES.
Définition 4 :
Si le symétrique d’une figure par rapport à une droite est la figure elle-même, alors nous disons que cette droite est un axe de symétrie de la figure.
Exemple 7 :
Ce logo n’a pas d’axes de symétrie.
Ce logo a un axe de symétrie, tracé en rouge sur le dessin.
Ce logo admet 3 axes de symétries, tracés en rouge sur le dessin.
Un cercle admet une infinité d’axes de symétries.
Exercices proposés : Exercices N°.
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