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CHAPITRE 02 : THEOREME DE THALES.
 Objectifs |
OBJECTIFS :
- Connaître et savoir utiliser dans une situation donnée, le théorème de Thalès ainsi que sa réciproque.
- Connaître les propriétés relatives à l’agrandissement et la réduction d’une figure.
- Connaître et savoir utiliser le fait que dans une réduction ou un agrandissement de rapport k, l’aire d’une surface est multipliée par $k^2$ ; le volume d’un solide par $k^3$.
Activités :
| Partie 1 |
I. THEOREME DE THALES.
Théorème 1 : Théorème de Thalès.
Soit $(d)$ et $(d')$ deux droites sécantes en A.
Soit B et M deux points de la droite $(d)$ distincts de A.
Soit C et N deux points de la droite $(d')$ distincts de A.
Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, alors on a : $(AM)/(AB)=(AN)/(AC)=(MN)/(BC)$.
Exemple 1 :
$AC=5$ cm ; $AN=3$ cm ; $AB=7$ cm et $(BC)////(MN)$
Sur la figure ci-dessus, on a : les droites $(d)$ et $(d')$ sécantes en A ; $N in (d')$ et $C in (d')$ ; $M in (d)$ et $B in (d)$.
Donc d’après le théorème de Thalès, on a : $(AM)/(AB)=(AN)/(AC)=(MN)/(BC)$.
D’où : $7/(AB)=5/3=(MN)/(BC)$.
En utilisant le produit en « T » ou « Y », il vient : $AM=(7xx3)/5=21/5=4,2$ cm.
Exemple 2 :
$DE=7,2$ cm ; $OE=4,5$ cm ; $RS=3,2$ cm et $(DE)////(RS)$
Sur la figure ci-dessus, on a : $O in (RE)$ et $O in (DS)$.
Donc d’après le théorème de Thalès, on a : $(OR)/(OE)=(OS)/(OD)=(RS)/(DE)$.
D’où : $(OR)/(4,5)=(OS)/(OD)=(3,2)/(7,2)$.
En utilisant le produit en « T » ou « Y », il vient : $OR=(4,5xx3,2)/(7,2)=(45xx32)/720=(9xx5xx8xx2xx2)/(9xx8xx2xx5)=2$ cm.
Proposition 1 : conséquence au théorème de Thalès.
Soit $(d)$ et $(d')$ deux droites sécantes en A.
Soit B et M deux points de la droite $(d)$ distincts de A.
Soit C et N deux points de la droite $(d')$ distincts de A.
Si $(AM)/(AB)!=(AN)/(AC)$, alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ ne sont pas parallèles.
Exemple 3 :
$AB=10$ cm ; $AC=8$ cm ; $AN=3$ cm et $AM=4$ cm.
Sur la figure ci-dessus, on a : les droites $(CN)$ et $(MB)$ sécantes en A.
On a : $(AN)/(AC)=3/8=0,375$ et $(AM)/(AB)=4/10=0,4$.
Donc $(AM)/(AB)!=(AN)/(AC)$.
Par conséquence du théorème de Thalès, les droites $(BC)$ et $(MN)$ ne sont pas parallèles.
Exercices proposés : Exercices N°.
| Partie 2 |
II. RECIPROQUE AU THEOREME DE THALES.
Proposition 2 : réciproque au théorème de Thalès.
Soit $(d)$ et $(d')$ deux droites sécantes en A.
Soit B et M deux points de la droite $(d)$ distincts de A.
Soit C et N deux points de la droite $(d')$ distincts de A.
Si les points A, M et B d’une part et A, N et C d’autre part sont dans le même ordre et si $(AM)/(AB)=(AN)/(AC)$, alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.
Exemple 4 :
$OE=4,2$ cm ; $OS=2,8$ cm ; $OR=2,1$ cm et $OD=5,6$ cm.
Sur la figure ci-dessus, on a : O point d’intersection des droites $(RE)$ et $(DS)$.
les points D, O et S d’une part et E, O et R d’autre part sont dans le même ordre.
On a : $(DO)/(OS)=(5,6)/(2,8)=2$ et $(OE)/(OR)=(4,2)/(2,1)=2$.
Donc, d’après la réciproque au théorème de Thalès, les droites $(DE)$ et $(RS)$ sont parallèles.
Exercices proposés : Exercices N°.
| Partie 3 |
III. AGRANDISSEMENT ET REDUCTION
Définition 1 :
Un agrandissement (respectivement réduction) d’une figure $(cc(F))$ de rapport k est une figure $(cc(F'))$ dont toutes les longueurs sont proportionnelles à celles de la figure $(cc(F))$ où k est le coefficient de proportionnalité.
Remarque 1 :
Si $k>1$, alors c’est un agrandissement.
Si $k<1$, alors c’est une réduction.
Proposition 3 :
Lors d’un agrandissement ou d’une réduction, les angles de la figure $(cc(F'))$ ont la même mesure que ceux de la figure $(cc(F))$.
Exemple 5 :
T, F et A sont alignés et U, G et A sont alignés. On donne : $AT=9,3$ cm, $AU=7,8$ cm, $TU=5,4$ cm, $AF=3,1$ cm, $AG=2,6$ cm et $FG=1,8$ cm.
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Longueurs du triangle TAU |
$AT=9,3$ cm |
$AU=7,8$ cm |
$TU=5,4$ cm |
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| Longueurs du triangle GAF |
$AF=3,1$ cm |
$AG=2,6$ cm |
$FG=1,8$ cm |
Ainsi toutes les longueurs des deux triangles TAU et GAF sont proportionnelles. Le triangle GAF est une réduction du triangle TAU, de rapport $k=1/3$.
De plus l’angle $hat(TUA)$ est droit ; par conséquence de la proposition 3, l’angle $hat(FGA)$ est droit lui aussi.
Proposition 4 :
Lors d’un agrandissement ou d’une réduction de rapport O, l’aire d’une surface est multipliée par $k^2$ et le volume d’un solide est multiplié par $k^3$.
Exemple 6 :
En reprenant l’exemple 5, trouvons l’aire des triangles TAU et GAF. Les triangles sont rectangles, donc :
$cc(A)_(TAU)=(TU xx UA)/2=(5,4xx7,8)/2=21,06$ cm2.
$cc(A)_(GAF)=(FG xx GA)/2=(1,8xx2,6)/2=2,34$ cm2.
Et nous avons bien : $(1/3)^2 xx cc(A)_(TAU)=1/9 xx 21,06=2,34$ cm2. Donc $cc(A)_(GAF)=(1/9)^2 xxcc(A)_(TAU)$.
Exercices proposés : Exercices N°.
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